Giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, là một kiến thức toán học nền tảng vô cùng quan trọng, ứng dụng nhiều trong giải toán hình học và các bài toán thực tế. Bài viết thuộc chuyên mục Hỏi Đáp này sẽ giúp bạn hiểu rõ giao điểm ba đường phân giác là gì, cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, tính chất quan trọng của điểm này, đồng thời giải đáp các thắc mắc thường gặp liên quan đến vị trí và ứng dụng của nó trong các bài toán hình học phẳng.
Giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác là gì? Định nghĩa và bản chất
Trong hình học phẳng, giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác là một điểm đặc biệt, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất hình học của tam giác. Điểm này, được gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, mang những đặc điểm và ứng dụng thú vị mà chúng ta sẽ khám phá chi tiết hơn.
Bản chất của giao điểm này xuất phát từ tính chất của đường phân giác. Đường phân giác của một góc trong tam giác là đường thẳng chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Mỗi điểm nằm trên đường phân giác đều cách đều hai cạnh tạo nên góc đó. Do đó, tâm đường tròn nội tiếp – là giao của ba đường phân giác – sẽ cách đều cả ba cạnh của tam giác. Khoảng cách từ tâm này đến mỗi cạnh chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.
Điểm đặc biệt này luôn nằm bên trong tam giác, khác với tâm đường tròn ngoại tiếp có thể nằm ngoài tam giác trong trường hợp tam giác tù. Tâm đường tròn nội tiếp là điểm đồng quy của ba đường phân giác, tức là ba đường này luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Việc xác định vị trí của tâm đường tròn nội tiếp có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ như trong thiết kế, kiến trúc và các bài toán liên quan đến tối ưu hóa khoảng cách.
Bạn đã biết giao điểm 3 đường phân giác có tính chất gì đặc biệt chưa? Khám phá ngay: Tam giác có 2 góc bằng nhau là tam giác gì?
Tính chất quan trọng của giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác
Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp, sở hữu những tính chất quan trọng làm nền tảng cho nhiều bài toán hình học và ứng dụng thực tế. Vị trí đặc biệt này không chỉ là điểm đồng quy mà còn mang những đặc điểm riêng biệt, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về cấu trúc và đặc tính của tam giác.
Một trong những tính chất quan trọng nhất của giao điểm ba đường phân giác là tính cách đều các cạnh của tam giác. Cụ thể, giao điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh của tam giác là bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn nội tiếp. Điều này có nghĩa là có một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác và có tâm chính là giao điểm của ba đường phân giác.
Tính chất trên dẫn đến một hệ quả quan trọng khác: giao điểm ba đường phân giác là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp là đường tròn nằm bên trong tam giác và tiếp xúc với cả ba cạnh. Tâm của đường tròn này, như đã đề cập, chính là giao điểm của ba đường phân giác trong. Việc xác định tâm đường tròn nội tiếp có ý nghĩa quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến, diện tích và các yếu tố khác của tam giác. Điều này được ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến thiết kế, xây dựng, và các lĩnh vực kỹ thuật khác, ở đó việc xác định tâm đường tròn nội tiếp giúp tối ưu hóa vị trí và kích thước của các yếu tố hình học.
Ngoài ra, giao điểm ba đường phân giác còn là một điểm đặc biệt trong việc phân chia tam giác thành các miền có diện tích liên quan đến độ dài các cạnh. Tỉ lệ diện tích giữa các tam giác nhỏ được tạo thành khi nối tâm đường tròn nội tiếp với các đỉnh của tam giác có liên quan đến tỉ lệ độ dài các cạnh đối diện. Tính chất này có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán về diện tích và tỉ lệ trong tam giác, cũng như để chứng minh các định lý hình học khác.
Cách xác định giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác
Việc xác định giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp, là một bài toán quan trọng trong hình học, giúp ta hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của tam giác. Giao điểm 3 đường phân giác không chỉ là một điểm đặc biệt mà còn là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, đường tròn này tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
Để tìm giao điểm 3 đường phân giác, có nhiều phương pháp khác nhau, từ phương pháp hình học truyền thống đến phương pháp sử dụng tọa độ trong mặt phẳng. Một trong những cách đơn giản nhất là vẽ chính xác ba đường phân giác của tam giác bằng thước và compa. Giao điểm của ba đường này chính là tâm đường tròn nội tiếp. Tuy nhiên, phương pháp này có thể không chính xác tuyệt đối do sai số trong quá trình vẽ.
Trong hình học tọa độ, ta có thể xác định tọa độ giao điểm bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng và tính chất của đường phân giác. Giả sử tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(xA, yA), B(xB, yB), và C(xC, yC). Ta có thể viết phương trình hai đường phân giác (ví dụ, phân giác từ A và B) và giải hệ phương trình này để tìm tọa độ giao điểm. Công thức tính tọa độ này thường khá phức tạp, nhưng nó đảm bảo độ chính xác cao hơn so với phương pháp vẽ hình. Ngoài ra, các phần mềm hình học động như Geogebra cung cấp công cụ để vẽ đường phân giác và xác định giao điểm một cách nhanh chóng và chính xác. Việc sử dụng phần mềm không chỉ giúp tiết kiệm thời gian mà còn cho phép khám phá các tính chất khác của giao điểm của các đường phân giác.
Công thức tính khoảng cách từ giao điểm 3 đường phân giác đến các cạnh của tam giác
Giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp, có một tính chất đặc biệt liên quan đến khoảng cách từ điểm này đến các cạnh của tam giác, và việc hiểu rõ công thức tính khoảng cách này rất quan trọng trong giải toán hình học. Điểm đặc biệt này không chỉ là trung tâm của đường tròn nội tiếp mà còn là điểm cách đều ba cạnh của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh chính là bán kính của đường tròn nội tiếp đó.
Khoảng cách từ giao điểm 3 đường phân giác I đến các cạnh của tam giác (d) được tính bằng công thức d = r, trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Để tính r, ta có thể sử dụng công thức r = S/p, với S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi tam giác. Nửa chu vi p được tính bằng (a + b + c)/2, trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
Để tính diện tích tam giác S, ta có thể sử dụng công thức Heron: S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]. Kết hợp các công thức trên, ta có thể tính được khoảng cách từ giao điểm các đường phân giác đến mỗi cạnh của tam giác. Ví dụ, nếu một tam giác có các cạnh a = 5, b = 7, c = 8, ta tính được p = (5 + 7 + 8)/2 = 10. Sau đó, S = √[10(10 – 5)(10 – 7)(10 – 8)] = √(10 5 3 2) = √300 = 10√3. Cuối cùng, r = S/p = (10√3)/10 = √3. Vậy khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh của tam giác là √3*.
Ứng dụng thực tế của giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác
Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, không chỉ là một khái niệm hình học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế thú vị và hữu ích. Việc hiểu rõ về tâm đường tròn nội tiếp giúp chúng ta áp dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề trong đời sống, kỹ thuật và thiết kế.
Trong kiến trúc và xây dựng, tâm đường tròn nội tiếp được sử dụng để xác định vị trí tối ưu cho các công trình có hình dạng tam giác. Ví dụ, khi thiết kế một khu vườn hình tam giác, việc đặt một đài phun nước tại tâm đường tròn nội tiếp sẽ giúp cân bằng không gian và tạo điểm nhấn thẩm mỹ. Tương tự, trong xây dựng, việc xác định vị trí đặt cột hoặc trụ đỡ tại tâm đường tròn nội tiếp có thể giúp phân bổ lực đều hơn, tăng tính ổn định cho công trình. Ngoài ra, trong thiết kế nội thất, việc bố trí các vật dụng trang trí, như đèn hoặc cây cảnh, tại vị trí này có thể tạo sự hài hòa và cân đối cho không gian phòng.
Trong lĩnh vực thiết kế đồ họa và nghệ thuật, giao điểm ba đường phân giác đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các tác phẩm cân đối và hài hòa về mặt thị giác. Các nhà thiết kế thường sử dụng nguyên tắc này để bố cục các yếu tố trong một bức tranh hoặc logo, đảm bảo rằng các thành phần chính được phân bổ một cách hợp lý và thu hút sự chú ý của người xem. Chẳng hạn, trong thiết kế logo hình tam giác, việc đặt biểu tượng chính tại tâm đường tròn nội tiếp sẽ tạo ra một thiết kế cân đối, chuyên nghiệp và dễ nhận diện.
Trong lĩnh vực đo đạc và bản đồ, việc xác định tâm đường tròn nội tiếp có thể giúp tính toán diện tích và các thông số khác của các khu vực có hình dạng tam giác một cách chính xác. Điều này đặc biệt hữu ích trong các dự án quy hoạch đô thị, quản lý đất đai, hoặc khảo sát địa hình. Ví dụ, khi cần tính diện tích một khu đất hình tam giác để phân chia hoặc xây dựng, việc sử dụng các công thức liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp sẽ giúp giảm thiểu sai số và đảm bảo tính chính xác của kết quả. Ngoài ra, trong các ứng dụng định vị và dẫn đường, việc xác định tâm đường tròn nội tiếp có thể được sử dụng để tính toán khoảng cách và hướng đi tối ưu giữa các điểm trên bản đồ.
Bài tập ví dụ về giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác và lời giải chi tiết
Để hiểu rõ hơn về giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, còn được gọi là tâm đường tròn nội tiếp, việc áp dụng kiến thức vào giải các bài tập cụ thể là vô cùng quan trọng. Dưới đây là một số ví dụ minh họa, kèm theo lời giải chi tiết, giúp bạn nắm vững các tính chất và cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các bài toán này bao gồm từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải toán hình học một cách hiệu quả.
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Tính khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác.
Lời giải:
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác, nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Do đó, khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, AC, BC là bằng nhau. Gọi khoảng cách đó là r (bán kính đường tròn nội tiếp).
Tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 (102 = 62 + 82), suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Diện tích tam giác ABC là: S = (1/2) AB AC = (1/2) 6 8 = 24 cm2.
Mặt khác, diện tích tam giác ABC cũng được tính bằng công thức: S = p r, trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC. Ta có: p* = (AB + AC + BC)/2 = (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm.
Từ đó, ta có: 24 = 12 r, suy ra r* = 2cm.
Vậy khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác bằng 2cm.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác trong. Chứng minh rằng AI, BI, CI đồng quy tại một điểm.
Lời giải:
Theo định nghĩa, I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Điều này có nghĩa là AI là đường phân giác của góc BAC, BI là đường phân giác của góc ABC, và CI là đường phân giác của góc ACB. Vì vậy, theo định nghĩa, AI, BI, và CI đồng quy tại điểm I, tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của I trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy.
Lời giải:
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ID = IE = IF (bán kính đường tròn nội tiếp).
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC, ta cần chứng minh: (AD/DB) (BE/EC) (CF/FA) = 1.
Xét tam giác vuông AID và AIF, ta có: AD2 = AI2 – ID2 và AF2 = AI2 – IF2. Vì ID = IF, nên AD = AF.
Tương tự, BE = BD và CF = CE.
Do đó, (AD/DB) (BE/EC) (CF/FA) = (AF/BD) (BD/CE) (CE/AF) = 1.
Vậy, theo định lý Ceva, AD, BE, CF đồng quy.
Các bài tập trên giúp bạn hiểu rõ hơn về định nghĩa và tính chất của giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác. Khi giải các bài toán liên quan, hãy nhớ đến các tính chất quan trọng như khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến các cạnh bằng nhau, và vận dụng các định lý, công thức một cách linh hoạt.
Phân biệt giao điểm 3 đường phân giác với các điểm đặc biệt khác trong tam giác
Giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, là một điểm đặc biệt. Tuy nhiên, cần phân biệt rõ ràng vị trí và tính chất của nó với các điểm đặc biệt khác cũng thường xuất hiện trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, và tâm đường tròn ngoại tiếp. Việc phân biệt các điểm đặc biệt trong tam giác giúp chúng ta hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất hình học của tam giác đó.
Trong tam giác, trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp đều có những tính chất và cách xác định riêng biệt so với tâm đường tròn nội tiếp. Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến, là điểm cân bằng của tam giác, và luôn nằm bên trong tam giác. Trực tâm là giao điểm của ba đường cao, vị trí của trực tâm phụ thuộc vào loại tam giác (nằm trong tam giác nhọn, trùng với đỉnh góc vuông ở tam giác vuông, và nằm ngoài tam giác tù). Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực, là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác, và vị trí của nó cũng phụ thuộc vào loại tam giác (nằm trong tam giác nhọn, là trung điểm cạnh huyền ở tam giác vuông, và nằm ngoài tam giác tù).
Điểm khác biệt lớn nhất giữa tâm đường tròn nội tiếp và các điểm đặc biệt khác là tính chất liên quan đến đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp là tâm của đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác, trong khi tâm đường tròn ngoại tiếp là tâm của đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến ba cạnh bằng nhau, trong khi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến ba đỉnh bằng nhau. Việc hiểu rõ các định nghĩa và tính chất này giúp giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác một cách chính xác.
Ví dụ, xét tam giác ABC. Nếu gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác, G là trọng tâm, H là trực tâm, và O là tâm đường tròn ngoại tiếp, thì thông thường I, G, H, O là bốn điểm phân biệt. Tuy nhiên, trong trường hợp tam giác ABC là tam giác đều, cả bốn điểm này trùng nhau. Điều này cho thấy sự khác biệt và mối liên hệ giữa các điểm đặc biệt trong các loại tam giác khác nhau.
Giao điểm 3 đường phân giác khác biệt thế nào so với trọng tâm, trực tâm, và tâm đường tròn ngoại tiếp? Tìm hiểu thêm: 2 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm gọi là gì?
Các định lý liên quan đến giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác
Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp, là một điểm đặc biệt sở hữu nhiều tính chất hình học quan trọng, được thể hiện qua các định lý. Các định lý này không chỉ giúp ta hiểu sâu sắc hơn về vị trí và vai trò của tâm đường tròn nội tiếp, mà còn là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác.
Một trong những định lý quan trọng nhất liên quan đến giao điểm ba đường phân giác là định lý về sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác. Định lý này khẳng định rằng ba đường phân giác của ba góc trong một tam giác luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điểm này, như đã đề cập, chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác, và tâm của nó cách đều ba cạnh này. Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh của tam giác chính là bán kính của đường tròn nội tiếp.
Một định lý khác liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp là định lý về vị trí của nó so với các cạnh của tam giác. Định lý này phát biểu rằng tâm đường tròn nội tiếp luôn nằm bên trong tam giác, gần các cạnh hơn so với các đỉnh. Điều này xuất phát từ tính chất cách đều ba cạnh của tâm đường tròn nội tiếp. Ngoài ra, còn có các định lý liên quan đến mối liên hệ giữa tâm đường tròn nội tiếp và các yếu tố khác của tam giác, chẳng hạn như diện tích, chu vi, và độ dài các cạnh. Các định lý này thường được sử dụng để giải các bài toán phức tạp về tam giác, đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức hình học và đại số.
Ví dụ, định lý Euler liên hệ khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp I và tâm đường tròn ngoại tiếp O của một tam giác với bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp: OI² = R² – 2Rr. Định lý này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa các yếu tố khác nhau của tam giác thông qua tâm đường tròn nội tiếp. Hiểu rõ và vận dụng linh hoạt các định lý liên quan đến giao điểm ba đường phân giác sẽ giúp học sinh và những người yêu thích toán học giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và sáng tạo.
Phần mềm và công cụ hỗ trợ tìm giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác
Việc xác định giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, hay còn gọi là tâm đường tròn nội tiếp, không chỉ là một bài toán hình học thuần túy mà còn có thể được thực hiện một cách dễ dàng và chính xác nhờ sự hỗ trợ của các phần mềm và công cụ trực tuyến. Các công cụ này giúp người dùng tiết kiệm thời gian, công sức và đặc biệt hữu ích trong việc kiểm tra lại kết quả tính toán bằng tay, hoặc khi giải các bài toán phức tạp.
Hiện nay, có rất nhiều phần mềm hình học và công cụ trực tuyến hỗ trợ tìm kiếm giao điểm 3 đường phân giác.
- Phần mềm hình học động: Các phần mềm như GeoGebra, Cabri Geometry cho phép người dùng vẽ tam giác một cách linh hoạt và tự động xác định giao điểm của các đường phân giác. Người dùng có thể thay đổi kích thước và hình dạng tam giác, và phần mềm sẽ tự động cập nhật vị trí của tâm đường tròn nội tiếp.
- Công cụ trực tuyến: Nhiều trang web cung cấp công cụ vẽ hình học trực tuyến, cho phép người dùng nhập tọa độ các đỉnh của tam giác và tự động vẽ tam giác, các đường phân giác và xác định tọa độ giao điểm. Các công cụ này thường rất dễ sử dụng và không yêu cầu cài đặt phần mềm.
- Ứng dụng di động: Một số ứng dụng di động cũng cung cấp chức năng tương tự, cho phép người dùng vẽ tam giác trên điện thoại hoặc máy tính bảng và xác định giao điểm ba đường phân giác. Các ứng dụng này đặc biệt tiện lợi cho việc học tập và giải bài tập hình học mọi lúc mọi nơi.
Việc sử dụng phần mềm và công cụ hỗ trợ không chỉ giúp xác định vị trí giao điểm ba đường phân giác một cách nhanh chóng, mà còn giúp người học trực quan hóa các khái niệm hình học, khám phá các tính chất của tam giác và rèn luyện kỹ năng giải toán. Ví dụ, với GeoGebra, người dùng có thể dễ dàng kiểm chứng rằng giao điểm của ba đường phân giác luôn nằm bên trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác. Việc sử dụng các công cụ này sẽ ngày càng trở nên phổ biến trong dạy và học toán hình học trong tương lai.
Mở rộng kiến thức: Giao điểm 3 đường phân giác ngoài tam giác (excenter)
Ngoài giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác, một khái niệm mở rộng thú vị trong hình học tam giác là giao điểm ba đường phân giác ngoài, hay còn gọi là excenter. Điểm đặc biệt này mang đến những tính chất hình học độc đáo và ứng dụng bất ngờ.
Vậy excenter là gì và nó khác biệt như thế nào so với incenter (giao điểm ba đường phân giác trong)? Mỗi tam giác có ba đường phân giác ngoài, mỗi đường phân giác ngoài tạo bởi tia phân giác của một góc ngoài của tam giác và đường thẳng chứa cạnh đối diện. Giao điểm của hai đường phân giác ngoài (ứng với hai góc của tam giác) và đường phân giác trong của góc còn lại chính là một excenter. Như vậy, mỗi tam giác sẽ có ba excenter, mỗi excenter nằm ngoài tam giác và là tâm của một đường tròn bàng tiếp.
Đường tròn bàng tiếp là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Mỗi excenter sẽ là tâm của một trong ba đường tròn bàng tiếp này. Khoảng cách từ một excenter đến ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác là bằng nhau, và bằng bán kính của đường tròn bàng tiếp tương ứng. Các excenter đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học sâu sắc của tam giác và có nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến đường tròn và tam giác. Việc tìm hiểu về excenter mở rộng thêm kiến thức về các điểm đặc biệt trong tam giác, giúp ta hiểu rõ hơn về vẻ đẹp và sự phong phú của hình học phẳng.
Giáo sư Nguyễn Lân Dũng là nhà khoa học hàng đầu Việt Nam trong lĩnh vực vi sinh vật học (wiki), với hơn nửa thế kỷ cống hiến cho giáo dục và nghiên cứu. Ông là con trai Nhà giáo Nhân dân Nguyễn Lân, thuộc gia đình nổi tiếng hiếu học. Giáo sư giữ nhiều vai trò quan trọng như Chủ tịch Hội các ngành Sinh học Việt Nam, Đại biểu Quốc hội và đã được phong tặng danh hiệu Nhà giáo Nhân dân năm 2010.